Studium

Viele physikalische Prozesse können durch partielle Differentialgleichungen (PDEs) modelliert werden, die in der Regel numerisch gelöst werden müssen. Unsere Forschung konzentriert sich auf die Entwicklung und Analyse moderner Finite-Elemente-Methoden für PDEs.

Wenn Sie an einem Thema für eine Abschlussarbeit oder ein studentisches Projekt interessiert sind, schauen Sie bitte hier. Eine Auswahl abgeschlossener Abschlussarbeiten finden Sie hier.

Die Arbeitsgruppe Variationelle Analysis und Kontinuierliche Optimierung beschäftigt sich mit Optimierung als zentralem Gebiet der angewandten Mathematik. Anwendungen reichen von den Sozial- und Naturwissenschaften über die Ingenieurwissenschaften bis hin zur Finanzmathematik.

Kontinuierliche Optimierung ist häufig eng mit Bereichen der Analysis verbunden. Ihre zentralen theoretischen Beiträge betreffen die Analyse nichtglatter und mengenwertiger Objekte. Die Werkzeuge der klassischen Analysis, darunter Ableitungen, Integrale und Resolventen, sind in der moderneren Sprache der variationellen Analysis enthalten, die die theoretische Grundlage der mathematischen Optimierung bildet.

Wenn Sie eine Bachelor- oder Masterarbeit im Bereich Optimierung schreiben möchten, wird erwartet, dass Sie eine Grundlagenvorlesung zur Optimierung oder zum Operations Research besucht haben und mindestens an einem der regelmäßig von Prof. Luke angebotenen Seminare teilgenommen haben. Von Masterstudierenden wird erwartet, dass sie mindestens ein Semester einer Spezialvorlesung von Prof. Luke zur variationellen Analysis oder numerischen Optimierung besucht haben.

Die Themen werden individuell festgelegt, abhängig vom Hintergrund der Studierenden und den aktuellen Forschungsaktivitäten der Arbeitsgruppe.

Erforderliche Vorlesungen: Numerik I und II sowie entweder Optimierung oder Wissenschaftliches Rechnen.

Themen für Bachelor- und Masterarbeiten stammen unter anderem aus den folgenden Bereichen:

• Numerische Lineare Algebra, z. B. schnelle Algorithmen, spezielle Matrizen und Eigenwerte
• Numerische Analysis, insbesondere Approximationstheorie, Quadraturformeln und stabile Algorithmen
• Numerische Fourier-Analysis, z. B. schnelle Fourier-Transformationen, trigonometrische Transformationen und Wavelets
• Anwendungen in der Signal- und Bildverarbeitung, z. B. Entrauschung und Kompression
• Inverse Probleme in der Signal- und Bildverarbeitung
• Mathematische Grundlagen des Deep Learning
• Anwendungen in Kooperation mit Industriepartnern oder in interdisziplinären Projekten

Themen werden individuell vergeben, abhängig vom mathematischen Hintergrund und den Interessen der Kandidat*innen. Beispiele früherer Bachelor- und Masterarbeitsthemen finden Sie hier:

Beispiele früherer Abschlussarbeiten

Voraussetzungen für eine Bachelorarbeit:

• Numerische Mathematik I
• Numerische Mathematik II oder Funktionalanalysis oder eine Vorlesung aus der Reihe Bild- und Geometrieverarbeitung, z. B. Fourier-Analysis

Voraussetzungen für eine Masterarbeit:

• Mindestens zwei der folgenden Vorlesungen: Numerische Mathematik II, Funktionalanalysis, Vorlesungen aus der Reihe „Bild- und Geometrieverarbeitung“, Approximationstheorie

Weitere Informationen zu den Vorlesungen finden Sie hier:

Lehre der Arbeitsgruppe Mathematische Signal- und Bildverarbeitung

Der Forschungsschwerpunkt der Arbeitsgruppe liegt auf Problemen aus den angewandten Wissenschaften, insbesondere aus der Physik. Typische Ziele sind die Auswertung indirekter Messdaten sowie Modellierungsaspekte, die häufig die numerische Lösung inverser Probleme erfordern.

Aktuelle Anwendungen:

• Identifikation von Materialparametern und Kräften in aktiver Materie
• Traktionskraftmikroskopie und inverse Probleme in der Elastizität
• Dynamische Computertomographie, insbesondere auf der Nanoskala
• Terahertz-Tomographie für die zerstörungsfreie Prüfung

Methodische Schwerpunkte:

• schnelle Regularisierungstechniken
• Parameteridentifikationsprobleme für partielle Differentialgleichungen
• Kombinationen von Methoden des maschinellen Lernens und Regularisierungsverfahren

Themen für Bachelor- und Masterarbeiten werden in der Regel auf Grundlage des Hintergrunds und der Interessen der Studierenden ausgewählt. Der erfolgreiche Abschluss der Vorlesungen in Numerischer Mathematik ist sowohl für Bachelor- als auch für Masterarbeiten erforderlich. Kenntnisse in inversen Problemen, Optimierung, Funktionalanalysis, numerischen Methoden für partielle Differentialgleichungen, wissenschaftlichem Rechnen oder Deep Learning sind hilfreich, aber nicht zwingend notwendig.